誰に請求するのか－裁判になると

交渉の相手は損保会社だったのに、裁判になると、その相手（被告）は加害者本人になります。あるいは、その車の所有者だったり、加害者の使用者だったりします。

それは、加害者本人等に対し賠償を命じる判決が確定したり、また、裁判の途中で和解したりすると、損保会社は、裁判の被告になっていなくても、支払をするからです。
そうすると、加害者側が自動車保険（任意保険）に入っていても、入っていなくても、加害者本人等を被告に裁判すればいいわけです。

でも、そうして加害者本人等を被告に裁判をしても、被告の代理人として出てくる弁護士は、損保会社の顧問弁護士です。
加害者本人等が十分に賠償したいと思っても、損保会社の顧問弁護士は、損保会社の立場からできるだけ賠償額を少なくしようと主張・立証します。

それは何か変です。
そこで、むしろ、損保会社を被告にすべきではないかという考え方が出てきます（→例えば、こちら）。
ただ、それにはいろいろ法的に難しい問題がありそうで、とりあえずは加害者本人等を被告にして裁判を起こしているのです。